量子場の理論(Peskin & Schroder)

ゼミで、この本の3章1節〜2節、ディラック場の箇所の担当でした。こんな内容:

• 電子を記述する古典場をつくる。
  • それは相対論に矛盾しないようローレンツ不変であり、量子力学の要求からスピンを記述できなくてはならない。
  • ローレンツ不変な方程式を作るにはどうすればいいか。
    • 一般に、場の変換は
      • 
    • の形式、元の点まで値を読みにいき、読んだ値になる補正を加えること、で表される。
    • ローレンツ変換を受けるn成分場を特徴付けるには、この"補正"を表すローレンツ群のnxn表現を挙げればよい。
    • 連続群の表現を挙げるには、定められた交換関係を満たすようなLie代数の生成元を用意すればよい。
    • ローレンツ群の生成元の満たすべき交換関係は次のとおり。
    • Diracのわざを使えば、この交換関係をみたす生成元を量産できる。
  • このなかからスピンを記述しうるものを探せばよい。
    • それがスピノルである。γ行列をこのように置いて、生成元をDiracのわざによりγ行列で表す。
    • スピノル場がみたすべき方程式を探そう。
    • γ行列の添字は、ベクトル添字であることが示されうる。この添字を４元微分演算子の添字と縮約することで、ローレンツ不変な方程式を得ることができる。
    • これこそDirac方程式である。
  • Dirac方程式は、(相対論に従う粒子ならスピンの有無にかかわらず満たすべき)Klein-Gordon方程式を含意するので、スピノルは相対論と矛盾しないといえる。
  • スピノル空間は可約である。各コンポーネントはローレンツ変換のうち空間回転に対しては普通のスピン・ベクトルと同じように変換するので、スピノルはスピンを表していると考えうる。