岩波統計物理学ゼミ〜ボルツマン方程式にどこで時間反転非対称性が忍び込んだか

いきなりですが、問題です。

メアリーの箱

メアリーは２つの箱と、いっぱいの赤玉と白玉を持っています。
$t=0$ 秒の時点では、２つの箱とも、Ｎ個の玉が入っています。 $t$ 秒の時点で箱 $i$ に入っている赤玉の割合の期待値を ${p_i}(t)$ とします $(i=1,2)$ 。すなわち $t$ 秒の時点で箱 $i$ には、平均 $N{p_i}(t)$ 個の赤玉が入っています。
メアリーは、 $n+0.5$ 秒( $n$ は整数)の時点で２つの箱からそれぞれランダムに $1$ 個の玉を取り出し、取り出したのとは逆の箱に戻します。 ${p_i}(t)$ を ${p_i}(t-1)$ で表しなさい。

正解はこちら。

箱 $i$ ではない箱のことを箱 $i+1$ と書くことにしましょう。
$t-0.5$ 秒での交換操作を考えます。

箱 $i$ から赤玉が取り出される確率は $p_i(t-1)$ です。このとき ${p_i}$ は1だけ減少します。

箱 $i+1$ から赤玉が取り出される確率は $p_{i+1}(t-1)$ です。このとき ${p_i}$ は1だけ増加します。

だから ${p_i}(t) = -{p_i}(t-1)+p_{i+1}(t-1)$ 。

この漸化式からわかりますが、このシステムは時間反転対称ではありません。操作を繰り返すにしたがって、2つの箱の中の赤玉の比率はだんだん近づきます。"箱からランダムに1個とりだして反対側の箱に入れる"という操作の逆は"反対側の箱からランダムに1個とりだして箱に入れる"ではないんですね。

これを踏まえて、ボルツマン方程式

${\partial \over \partial t}f(\b{r},\b{p},t) + (\dot{\b{r}} \bullet {\partial \over \partial {\b r}} + \dot{\b{p}} \bullet {\partial \over \partial {\b p}} )f(\b{r},\b{p},t) = \Gamma(f)$ where
$\Gamma(f) = - \int \! \int \! \int d \b{p}_1d\b{p}' d\b{p}' _1 f(\b{r},\b{p},t) f(\b{r},\b{p_1},t) (\b{p},\b{p}_1 | \sigma | \b{p}',\b{p}'_1)$ $+ \int \! \int \! \int d \b{p}_1d \b{p}' d \b{p}' _1 f(\b{r},\b{p}',t) f(\b{r},\b{p}'_1,t) (\b{p},\b{p_1} | \sigma |\b{p}',\b{p}'_1)$

の形をみると、時間反転非対称性が入っているのはメアリーの箱と同じしくみなのがわかります。