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代数学

代数幾何学にはいったよ。

多項式環からつくられる代数方程式の環がある。そいつらのなす包含関係は・・・

  • 空間全体を解に持つ方程式がある。
  • 解を持たない方程式がある。
  • 解の範囲がA,Bであるふたつの方程式があればA∪Bを解に持つ方程式もある。
    • (x-A)(x-B)のことですね。
  • 解の範囲がA_\lambda \lambda \in \Lambdaなる方程式群があれば、A_\lambdaたちの共通部分を解に持つ方程式もある。
    • ネター環ですからな。

これって何かに似てない?そう、代数方程式の零点集合たちを閉集合たちとする位相が、解空間にはいるんだ。
まあこの位相はハウスドルフじゃなかったり、そもそも零点集合からもとの代数方程式がちっとも復元できない*1場合が多々あったりするんだけどね。
でももとの多項式環代数閉体だったら話は別。ある程度復元する方法があって・・・続く。

*1:極端な話、零点集合が空集合であるような方程式もある!空集合からどうやってもとの方程式を復元できようか!