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代数学

ここ*1にでてきた定理Aの証明をした。

一回生の線型代数のキモとは?

  • 線型写像の分類
  • 線型変換の分類
  • 2次形式の分類

を理解することであり、それぞれ次の重要な結論がある。

線型写像の分類
V,Wを体K上の有限次元線型空間とし、\mathrm{Hom}(V,W)の元\varphiたちを同値関係\varphi \sim P^{-1} \varphi Q \quad \mathit{where} \quad  P,Qは正則 で分類すると、同値類は有限個になる。あぶりだされた本質的な違いはRankの違い。
線型変換の分類
\mathrm{End}(V,V)の元たちを同値関係\varphi \sim P^{-1} \varphi P \quad \mathit{where} \quad  Pは正則 で分類すると、体Kが代数閉体ならばよい構造を持った分類ができる。その構造はJordan標準型という行列のなす構造と同じである。
2次形式の分類
シルヴェスターの慣性則。

体ではなく、単項イデアル整域の上でこれらに相当する定理を証明していく。

*1:未リンク